Бесплатные книги. Геометрия 7, 8, 9, 10, 11 класс, определения и формулы

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны, называемые основаниями, параллельны, а две другие стороны, называемые боковыми сторонами, не параллельны.

Равнобедренная трапеция имеет равные боковые стороны.

Прямоугольная трапеция содержит прямой угол.

Площадь трапеции

Параллелограмм

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Площадь параллелограмма

Прямоугольник

Прямоугольник - это параллелограмм, все углы которого прямые.

Теоремы из 7 класса распределить по разделам

При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180⁰.

Внешний угол треугольника является смежным с внутренним углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.

8 класс (от 128 до 256 с)

Сумма углов выпуклого n-угольника

У выпуклого n-угольника сумма углов равна (n - 2)·180⁰.

Если углы α выпуклого n-угольника равны, то их сумма равна nα

Величина угла правильного n-угольника

Определим число сторон правильного n-угольника по известному углу α

Если углы α выпуклого n-угольника равны, то их сумма равна nα

Синус

Окружность

Дуга окружности измеряется в градусной мере или в радианах, а также характеризуется длиной

Центральный угол

Угол, вершина которого в центре окружности. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол

Вписанным называется угол с вершиной на окружности и сторонами, пересекающими окружность.

Теорема о вписанном в окружность угле

Вписанный угол равен половине центрального угла и дуги, на которую опираются вписанный и центральный углы.

Признаки подобия треугольников

Задача 551 а [Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]

Дано: На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка E. Прямые AE и BC пересекаются в точке F. Найдите: а) EF и FC, если DE=8 см, EC=4 см, BC=7 см. AE=10 см; б) DE и EC, если AB=8 см, AD=5 см, CF=2 см.

3.ΔAED ~ ΔCEF по первому признаку подобия (по 2-м углам). Отношения соответствующих сторон подобных треугольников равны

Вписанная окружность

Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника, который называется описанным около этой окружности.

Вписать окружность можно в любой треугольник и притом только одну.

Вписать окружность можно не в любой многоугольник.

Вписать окружность можно в выпуклый четырехугольник, суммы противоположных сторон которого равны.

Описанная окружность

Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника, который называется вписанным в эту окружность.

9 класс

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы – это векторы, находящиеся на одной прямой или на параллельных прямых.

Лемма о коллинеарных векторах

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна основаниям.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Любой вектор

единственным образом разлагается на плоскости по двум неколлинеарным данным векторам

с единственными коэффициентами разложения x и y:

Разложим заданный вектор

по заданным неколлинеарным векторам

Из конца вектора

проведем прямые, параллельные векторам

до пересечения с лучами, сонаправленными с векторами

. Получим параллелограмм

Координаты вектора

Если вектор

задан точками M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂), то его координаты

Длина вектора

Расстояние между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂)

Координаты точки по формулам тригонометрии

Координаты точки A, находящейся на расстоянии OA от начала координат O

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру описанной окружности

Теорема косинусов

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

в соответствии с теоремой Пифагора, поэтому теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора.

Решение треугольников

Решение треугольника – это нахождение по трем данным элементам остальных трех элементов, определяющих треугольник (трех сторон и трех углов). Трех заданных углов не достаточно для решения треугольника, потому что размер треугольника в этом случае может быть любым. При решении треугольника могут использоваться теоремы косинусов, синусов и возможность определения третьего угла путем вычитания из 180⁰ двух известных углов.

Попарно приравнивая элементы из теоремы синусов

можно определить неизвестный элемент по трем известным. Например, приравняв

можно найти любой угол по известным двум другим.

Угол между векторами

Угол между векторами – равен углу между проведенными из одной точки лучами, сонаправленными с этими векторами. Угол между сонаправленными векторами равен 0⁰. Угол между перпендикулярными векторами равен 90⁰.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов – это произведение длин векторов на косинус угла между ними

Если ненулевые векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

. Так как cos90⁰ = 0.

Если

, то

, следовательно

. При уменьшении угла между векторами

возрастает и достигает максимального значения при

= 0⁰, то есть при сонаправленности векторов

. Так как cos0⁰ = 1, то

Если

, то

, следовательно

. При увеличении угла между векторами

уменьшается и достигает минимального значения при

= 180⁰, когда векторы противоположно направлены

. Так как cos180⁰ = -1, то

Физический смысл скалярного произведения векторов

Из курса физики известно, что работа A силы

при перемещении тела

равна произведению длин векторов силы

и перемещения

на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы и перемещения

Если

< 90⁰, то работа силы

на перемещении

положительна A > 0.

Если

= 90⁰, то работа силы

на перемещении

равна нулю A = 0.

Если

> 90⁰, то работа силы

на перемещении

отрицательна A < 0.

Задача. Определить работу силы тяжести при подъеме легкового автомобиля массой 1 тонна по трассе длинной 1 км, имеющей угол наклона 30⁰ к горизонту. Сколько литров воды при температуре 20⁰ можно вскипятить, используя эту энергию?

Скалярное произведение векторов в координатах

Скалярное произведение векторов

в прямоугольной системе координат

Угол между векторами

Если ненулевые векторы

перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения справедливы при любых

, k:

Площадь треугольника по формуле Герона

где r – радиус вписанной в треугольник окружности.

где R – радиус описанной около треугольника окружности.

можно определить неизвестную величину по заданным величинам.

Задача. По трем сторонам треугольника a, b, c определить три угла, радиусы вписанной r и описанной R окружностей.

Из теоремы косинусов можем определить косинусы всех трех углов. Или используя теорему синусов

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все углы, а также стороны.

Сумма углов и угол правильного многоугольника

Получаем прогрессию суммы углов правильных n-угольников

4α₄ = (4 – 2)·180⁰ = 2·180⁰ = 360⁰ = 3α₃ + 180⁰ = 180⁰ + 180⁰ = 360⁰.

5α₅ = (5 – 2)·180⁰ = 3·180⁰ = 540⁰ = 4α₄ + 180⁰ = 360⁰ + 180⁰ = 540⁰.

6α₆ = (6 – 2)·180⁰ = 4·180⁰ = 720⁰ = 5α₅ + 180⁰ = 540⁰ + 180⁰ = 720⁰.

Арифметическая прогрессия, в которой первый член является суммой углов правильного 3-ка

Описанная около правильного многоугольника окружность

Окружность, описанная около многоугольника – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

Только одна окружность описывает правильный многоугольник.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность, вписанная в многоугольник – это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника.

Только одну окружность можно вписать в правильный многоугольник.

Центры описанной и вписанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника.

Площадь, сторона правильного n-угольника

где P – периметр правильного многоугольника;

где S_∆ – площадь одного из n равных треугольников, образующихся при соединении центра правильного n-угольника с его вершинами.

Длина окружности

Длина дуги с градусной мерой α

Площадь круга

Площадь сектора с градусной мерой α

Отображение плоскости на себя

Отображение плоскости на себя – это сопоставление каждой точке плоскости какой-то точке этой же плоскости.

Осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

Движение плоскости

Движение плоскости – это сохраняющее расстояния отображение плоскости на себя.

Осевая симметрия является движением плоскости. Центральная симметрия плоскости является движением плоскости.

Теорема: «При движении отрезок отображается на равный ему отрезок».

Следствие: «При движении фигура отображается на равную ей фигуру».

Наложение является отображением плоскости на себя, при этом различные точки плоскости отображаются также в различные точки с сохранением расстояний.

Все наложения являются движением плоскости.

Теорема: «Все движения являются наложением».

Следствие: «При движении произвольная фигура отображается на равную ей фигуру».

Параллельный перенос на вектор

- это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости отображается в точку на вектор

Любой параллельный перенос является движением.

Поворотом плоскости вокруг заданной точки на данный угол называется отображение плоскости на себя, при котором любая точка в результате вращения вокруг заданной точки на данный угол отображается в точку.

10 класс

Стереометрия

Стереометрия - раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве.

Основные фигур стереометрии: точки, прямые, плоскость.

Многогранники - геометрические тела с поверхностями, выстроенными из многоугольников.

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1: через 3 точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

Аксиома 2: Если в плоскости лежат 2 точки прямой, то прямая и все ее точки лежат в данной плоскости, то есть через прямую проходит данная плоскость.

Прямая и плоскость пересекаются в одной общей точке.

Аксиома 3: Если 2 плоскости пересекаются в общей точке, то они пересекаются и в общей прямой, содержащей все общие точки данных плоскостей, то есть плоскости пересекаются в прямой.

Следствия из аксиом стереометрии

Теорема: через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

Теорема: через пару пересекающихся прямых проходит единственная плоскость.

Параллельные прямые в пространстве

Параллельными называются две не пересекающиеся прямые в пространстве, лежащие в одной плоскости.

Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой на плоскости и в пространстве.

Параллельность трех прямых

Если данную плоскость пересекает одна из двух параллельных прямых, то и вторая прямая пересекает данную плоскость.

Если прямые параллельны данной прямой, то все прямые параллельны.

Параллельность прямой и плоскости

Параллельными называются прямая и плоскость, не имеющие общих точек.

Если не принадлежащая данной плоскости прямая параллельна какой-то прямой, принадлежащей этой плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны.

Если через данные параллельные прямую и плоскость проходит плоскость, содержащая данная прямую, то эта плоскость пересекает данную плоскость по прямой, параллельной данной прямой.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью равен 90⁰, если прямая перпендикулярна плоскости или углу между прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними равен 0⁰.

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются прямые, не лежащие в одной плоскости.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся [Геометрия. 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.; стр. 15].

Три случая расположения двух прямых в пространстве:

1)прямые пересекаются в одной общей точке, поэтому лежат в одной плоскости;

2)прямые параллельны, поэтому не пересекаются и лежат в одной плоскости;

3)прямые скрещиваются, поэтому не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна [Л.С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы; стр. 16].

Правильная призма

Правильной называется прямая призма с основаниями - правильными многоугольниками.