© 2018 Ольшевский Андрей Георгиевич консультирует по авиации, двигателям, искусственному интеллекту, генерации идей, электронике, физике, математике, информатике, программированию, техническим дисциплинам в Скайп da.irk.ru

Сайт www.super-code.ru наполняется бесплатными книгами

Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы

(продолжение)


1 Векторы на плоскости и в пространстве (продолжение)

1.1 Угол между прямой и плоскостью

Угол φ между прямой α и плоскостью β равен углу между направляющим вектором прямой и проекцией α' прямой α на плоскость β. Проекция прямой α' на плоскость β лежит в плоскости β, поэтому перпендикулярна вектору , нормальному к плоскости β.

Угол θ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости:

θ = 900 - φ.

Отсюда угол между прямой и плоскостью

φ = 900 - θ

sin φ = sin (900 - θ),

но по формуле приведения

sin (900 - θ) = cos θ.

Получаем

sin φ = cos θ.

Если угол между векторами θ = 900 + φ, тогда угол между прямой и плоскостью равен φ = θ - 900 = -(900 - θ).

sin φ = sin (-(900 - θ)) = -sin (900 - θ) = -cos θ.

sin φ = - cos θ.

φ ≤ 900, а 0 ≤ θ ≤ 1800, поэтому синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости

sin φ = |cos θ|

Если заданы координаты ненулевых векторов = (x1; y1; z1) и = (x2; y2; z2), то косинус угла θ между ними

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой = (x1; y1; z1) и нормальным вектором = (x2; y2; z2) плоскости x2x + y2y + z2z + d = 0

sin φ = |cos θ| =

Прямая и плоскость - это разные геометрические фигуры, поэтому в формуле присутствуют и разные тригонометрические функции.

Задача. Определить угол между плоскостью, проходящей через точки M1 (0; 0; 0), M2 (0; 1; 0) и M3 (0; 0; 1), и прямой, проходящей через точки M4 (1; 0; 0), M2 (0; 1; 0).

Решение

Построим заданные точки, плоскость в виде треугольника, лежащего в ней, прямую в системе координат Oxyz.

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0 дает систему 3-х уравнений

Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 0; 0), изобразим его в системе координат

Общее уравнение плоскости

x + 0·y + 0·z + 0 = 0

x = 0.

Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz.

Направляющий вектор прямой проходящей через точки M4(1; 0; 0), M2 (0; 1; 0) обозначим . Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M4, с концом в точке M2 и равный ему вектор из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)

Если ненулевые векторы и , то косинус угла θ между ними

Синус угла между прямой и плоскостью

sin φ = |cos θ| =

Подставляем координаты направляющего вектора прямой = {-1; 1; 0} и координаты нормального вектора плоскости = {1; 0; 0}.

sin φ =

sin φ =

φ = 450.

Изобразим угол между прямой и плоскостью, равный углу между направляющим вектором прямой и проекцией этого вектора на координатную ось Oy.

Ответ: угол между прямой и плоскостью φ = 450.

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BC1 и плоскостью BCD1.

1.2 Угол между двумя плоскостями

Две плоскости могут быть параллельны или пересекаться по линии.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между двумя пересекающимися прямыми, проведенными перпендикулярно линии пересечения плоскостей.

Поэтому угол между плоскостями 00 ≤ φ ≤ 900.

Если заданы две плоскости

a1x + b1y + c1z + d1 = 0

и

a2x + b2y + c2z + d2 = 0,

то соответствующие нормальные векторы этих плоскостей 1 (a1; b1; c1) и 2 (a2; b2; c2). Косинус угла θ между нормальными векторами плоскостей

Если угол φ между плоскостями α и β равен углу θ между нормальными векторами этих плоскостей φ = θ, то

cos φ = cos θ.

Если угол между плоскостями φ = 1800 - θ, то

cos φ = cos (1800 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Косинус угла между плоскостями

a1x + b1y + c1z + d1 = 0

и

a2x + b2y + c2z + d2 = 0

равен модулю косинуса угла между нормальными векторами 1 (a1; b1; c1) и 2 (a2; b2; c2) этих плоскостей

cos φ = |cos θ| =

1.2.1 Алгоритм нахождения угла между двумя плоскостями

1.Задать систему координат с началом на линии пересечения плоскостей.

2.В системе координат построить не менее двух точек, задающих каждую плоскость, между которыми требуется определить угол. Эти две точки необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.

2.Определить координаты заданных двух точек для каждой плоскости.

3.Задать один коэффициент уравнения плоскости равным 1, обычно принимается a = 1. Плоскости проходят через начало координат, поэтому d = 0.

4.Составить систему двух уравнений для каждой плоскости.

5.Решить системы уравнений и составить уравнения двух плоскостей, из которых определяются координаты двух нормальных векторов.

6. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих плоскостей

cos φ = |cos θ| =

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы ребра: AB = 16, AD = 14, СС1 = 24. Найти угол между плоскостями ABC и A1DB.

1.3 Расстояние от точки до плоскости

Если известны координаты точки M0 (x0; y0; z0) и уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0), то расстояние от данной точки до плоскости определяется следующим образом.

Проекцией точки M0 на плоскость является точка M1 (x1; y1; z1), поэтому вектор перпендикулярен плоскости и коллинеарен нормальному вектору плоскости (a; b; c). Следовательно,

= k .

Расстояние между точкой M0 и плоскостью равно длине вектора , которая равна

| |= |k|| |

Длина нормального вектора

| |= |k|

Координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора = (x1 - x0; y1 - y0; z1 - z0), поэтому

x1 - x0 = ka; y1 - y0 = kb; z1 - z0 = kc.

x1 = ka + x0; y1 = kb + y0; z1 = kc + z0.

Подстановка координат точки M1 (x1; y1; z1) в уравнение плоскости дает равенство

ax1 + by1 + cz1 + d = 0

Подставляем полученные ранее значения x1, y1, z1

a(ka + x0) + b(kb + y0) + c(kc + z0) + d = 0

Путем преобразований выразим k

ka2 + ax0 + kb2 + by0 + kc2 + cz0 + d = 0

ka2 + kb2 + kc2 + ax0 + by0 + cz0 + d = 0

k(a2 + b2 + c2) = -(ax0 + by0 + cz0 + d)

Подставим |k|

| |=

| |=

| |=

Расстояние от точки M0 (x0; y0; z0) до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

=

Расстояние между точкой и плоскостью равно модулю суммы произведений соответствующих координат нормального вектора и точки плюс d, деленного на длину (модуль) нормального вектора плоскости.

Задача. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найти расстояние между плоскостью SAD и серединой ребра AB.

1.4 Правая и левая тройка векторов

Тройкой векторов , , называются некомпланарные векторы в указанном порядке, построенные из одной точки.

Единичные векторы , , системы координат xyz всегда образуют тройку векторов.

Если из конца вектора смотреть на плоскость, в которой лежат векторы и , то если поворот от вектора к вектору по кратчайшему пути совершается против часовой стрелки, то тройку векторов , , называют правой, если кратчайший поворот от к совершается по часовой стрелки, то тройку векторов , , называют левой.

Правая тройка векторов , , или , , (системы координат xyz) ориентирована также, как большой, указательный и средний пальцы правой руки.

Левая тройка векторов , , или , , ориентирована также, как большой, указательный и средний пальцы левой руки.

1.5 Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов – это вектор, перпендикулярный каждому из двух заданных векторов. Три вектора , , расположены относительно друг друга также как , , . Длина вектора равна произведению длин заданных векторов на синус угла между ними

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, образованного векторами и , а также параллельными им отрезками

Векторное произведение векторов равно произведению площади S параллелограмма, построенного на векторах и , умноженной на единичный вектор в направлении вектора

Если = 00, то векторы сонаправлены и = sin 00 = 0, следовательно, векторное произведение двух сонаправленных векторов равно нулевому вектору

.

Если угол между векторами 0 < < 900, то синус угла между такими векторами больше нуля > 0, следовательно векторное произведение двух таких векторов дает вектор со знаком "плюс". При увеличении угла между векторами от 00 до 900 также возрастает, поэтому увеличивается и длина вектора .

Если два ненулевых векторы перпендикулярны = 900, то их векторное произведение дает вектор, длина которого равна произведению длин (модулей) заданных векторов , так как sin 900 = 1.

Если , то синус угла между такими векторами больше нуля > 0, следовательно векторное произведение двух таких векторов дает вектор со знаком "плюс". При увеличении угла между векторами от 900 до 1800 уменьшается, поэтому уменьшается и длина вектора .

При увеличении угла между двумя векторами синус угла между ними уменьшается и достигает минимального значения при = 1800, когда векторы противоположно направлены . Так как sin 1800 = 0, то векторное произведение двух противоположно направленных векторов равно нулевому вектору

.

В итоге, векторное произведение двух сонаправленных или противоположно направленных, то есть коллинеарных векторов равно нулевому вектору или нулю

.

= 0.

Векторное произведение двух перпендикулярных векторов дает вектор, длина которого равна произведению длин (модулей) заданных векторов

.

Векторное произведение двух векторов всегда дает вектор со знаком "плюс". Это значит, что взаимная ориентация трех векторов , , всегда такая же как и взаимная ориентация единичных векторов , , и не зависит от угла между заданными векторами и .

Векторное произведение двух векторов = (x1; y1; z1) и = (x2; y2; z2) можно определить с помощью символического определителя третьего порядка

Разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки

дает формулу вычисления координат вектора, полученного в результате векторного произведения двух векторов

,

Координаты вектора :

Миноры являются определителями второго порядка, поэтому вычисляются следующим образом

Векторное произведение двух векторов

Координаты вектора

Площадь параллелограмма, образованного двумя векторами = (x1; y1; z1) и = (x2; y2; z2), определяется по формуле

Модуль вектора

равен корню квадратному из суммы квадратов его координат

Поэтому площадь параллелограмма, образованного двумя векторами = (x1; y1; z1) и = (x2; y2; z2)

Площадь параллелограмма, образованного векторами и равна корню квадратному из суммы квадратов координат вектора

.

Площадь ∆ABC равна половине площади параллелограмма ABDC

Если два вектора имеют координаты = (x1; y1; z1) и = (x2; y2; z2), то

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, образованного векторами и , а также параллельными им отрезками

Задача. Вычислить векторное произведение двух векторов = (0; 3; 4) и = (-1; 0; 2).

Решение

Векторное произведение векторов запишем в виде определителя третьего порядка

Для вычисления определителя третьего порядка разложим его по элементам первой строки

Вектор имеет координаты

= (6; -4; 3).

Задача. Вычислить векторное произведение двух векторов = (1; 0; 0) и = (0; 1; 0).

Решение

Вектор = (1; 0; 0) лежит на оси Ox, вектор = (0; 1; 0) лежит на оси Oy.

Векторное произведение векторов запишем в виде определителя третьего порядка

Для вычисления определителя третьего порядка разложим его по элементам первой строки

Вектор лежит на оси Oz, имеет координаты

= (0; 0; 1).

Задача. Вычислить векторное произведение двух векторов = (1; 2; 3) и = (2; 4; 6).

Решение

1 способ

Векторное произведение векторов запишем в виде определителя третьего порядка

Для вычисления определителя третьего порядка разложим его по элементам первой строки

Вектор нулевой

= (0; 0; 0),

следовательно векторы и коллинеарные.

2 способ

Координаты вектора в 2 раза больше координат вектора , следовательно

= 2 .

Следовательно, векторы и коллинеарные, а точнее сонаправленные. Значит их векторное произведение равно нулю.

Задача. Вычислить векторное произведение двух векторов = (1; 1; 1) и = (-3; -3; -3).

Решение

Координаты вектора получаются из координат вектора путем умножения на коэффициент -3, следовательно

= -3 .

Следовательно, векторы и коллинеарные, а точнее противоположно направленные. Значит их векторное произведение равно нулю.

Задача. Вычислить векторное произведение двух векторов = (1; 1; 1) и = (-1; 1; 1).

Решение

Векторное произведение векторов запишем в виде определителя третьего порядка

Для вычисления определителя третьего порядка разложим его по элементам первой строки

Координаты вектора

= (0; -2; 2).

Площадь параллелограмма, образованного векторами и равна корню квадратному из суммы квадратов координат вектора = (0; -2; 2)

.

1.6 Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется их векторно-скалярное произведение:

· · = [ = ·[ ].

Смешанное произведение дает число, полученное в результате векторного произведения векторов , скалярно умноженного на вектор или скалярного произведения вектора на вектор, полученный в результате векторного произведения .

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю

· · = 0.

Смешанное произведение не компланарных векторов не равно нулю

· · ≠ 0.

Перестановка местами двух векторов приводит к смене знака смешанного произведения

= = = - = - = - .

Если даны координаты трех векторов = (x1; y1; z1), = (x2; y2; z2) и = (x3; y3; z3), то смешанное произведение этих векторов вычисляется через определитель третьего порядка

Разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки

Геометрически модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, образованного векторами , и

V = | |

Модуль смешанного произведения трех векторов позволяет перемножать их в произвольном порядке.

Модуль обозначим словом mod, тогда объем параллелепипеда

Если известны 4 точки параллелепипеда M1 = (x1; y1; z1), M2 = (x2; y2; z2), M3 = (x3; y3; z3) и M4 = (x4; y4; z4), то для нахождения объема найдем координаты 3-х векторов, образующих параллелепипед

= (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1)

= (x3 - x1; y3 - y1; z3 - z1)

= (x4 - x1; y4 - y1; z4 - z1)

Объем параллелепипеда, образованного векторами , и равен модулю смешанного произведения этих векторов

V = | · · |

Объем параллелепипеда

Объем пирамиды

с любой фигурой в основании, в том числе и с параллелограммом или треугольником в основании.

Объем параллелепипеда

Объем пирамиды, образованной векторами , и с параллелепипедом в основании равен 1/3 модуля смешанного произведения этих векторов

Объем пирамиды, заданной 4-мя точками M1 = (x1; y1; z1), M2 = (x2; y2; z2), M3 = (x3; y3; z3) и M4 = (x4; y4; z4)

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому объем пирамиды в основании, которой такой треугольник, будет в 2 раза меньше объема пирамиды, в основании которой исходный параллелограмм. Пирамида, состоящая из 4-х треугольников, называется тетраэдром.

Объем тетраэдра, образованного векторами , и равен 1/6 модуля смешанного произведения этих векторов

Объем тетраэдра, заданного 4-мя вершинами M1 = (x1; y1; z1), M2 = (x2; y2; z2), M3 = (x3; y3; z3) и M4 = (x4; y4; z4)

Задача. Найти объем параллелепипеда, объем пирамиды с параллелограммом в основании и объем тетраэдра, построенных на векторах = (-1; -2; 3), = (2; 1; -3) и = (-1; -3; 2).

Решение

Объем параллелепипеда, образованного векторами , и равен модулю смешанного произведения этих векторов

V = | |

= -(1·2 - (-3)·(-3)) + 2·(2·2 - (-1)·(-3)) + 3·(2·(-3) - (-1)·1) =

= -(2 - 9) + 2·(4 - 3) + 3·(-6 + 1) = 7 + 2 - 15 = -6.

Объем параллелепипеда

V = |-6| = 6 ед3.

Объем пирамиды с параллелограммом в основании

= 2 ед3.

Объем тетраэдра

= 1 ед3.

2 Решение геометрических задач с помощью векторов

1.Выбрать удобное расположение трехмерной системы координат.

2.Определить координаты точек, выбирая масштаб единичных отрезков так, чтобы как можно больше координат точек были равны единице. Обычно требуется определить координаты двух точек, задающих прямую или трех точек, определяющих плоскость.

3.По координатам точек определить направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости.

4.Решить задачу координатным методом.

2.1 Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых в пространстве:

  1. Прямые не лежат в одной плоскости, следовательно, скрещиваются.

  2. Прямые лежат в одной плоскости, поэтому могут:

    1. Пересекаться.

    2. Совпадать.

    3. Быть параллельны.

Если одна прямая задана двумя точками M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2), то направляющий вектор этой прямой имеет координаты

= (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).

Если вторая прямая также задана двумя точками M3(x3; y3; z3) и M4(x4; y4; z4), то направляющий вектор этой прямой имеет координаты

= (x4 - x3; y4 - y3; z4 - z3).

Проведем третий вектор, связывающий две точки, лежащие на разных прямых, например, с координатами

= (x3 - x1; y3 - y1; z3 - z1).

Если векторы , и не компланарны, то прямые скрещиваются. Смешанное произведение не компланарных векторов не равно нулю

· · ≠ 0.

Если смешанное произведение векторов равно нулю

· · = 0,

то прямые лежат в одной плоскости.

Если не выполняется условие коллинеарности векторов = k· , то прямые пересекаются. В противном случае направляющие векторы коллинеарны, а прямые параллельны или совпадают.

Чтобы убедиться в совпадении этих прямых, можно в каноническое уравнение первой прямой

подставить координаты одной точки, задающей вторую прямую, например M3(x3; y3; z3). Если отношения

равны, то прямые имеют по крайней мере одну общую точку M3, следовательно, совпадают.

Если отношения в каноническом уравнении не равны, то точка второй прямой не принадлежит первой прямой, следовательно, прямые параллельны.

Веб-страницы: 1 Векторы на плоскости и в пространстве (начало) 2

Векторы на плоскости и в пространстве скачать

Консультации Ольшевского Андрея Георгиевича по Skype da.irk.ru

  1. Подготовка студентов и школьников по математике, физике, информатике, школьников желающих получить много баллов (часть C) и слабых учеников к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ. Одновременное улучшение текущей успеваемости путем развития памяти, мышления, понятного объяснения сложного, наглядного преподнесения предметов. Особый подход к каждому ученику. Подготовка к олимпиадам, обеспечивающим льготы при поступлении. 15-летний опыт улучшения успеваемости учеников.

  2. Высшая математика, алгебра, геометрия, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.

  3. Понятное объяснение теории, ликвидация пробелов в понимании, обучение приемам решения задач, консультирование при написании курсовых, дипломов.

  4. Авиационные, ракетные и автомобильные двигатели. Гиперзвуковые, прямоточные, ракетные, импульсные детонационные, пульсирующие, газотурбинные, поршневые двигатели внутреннего сгорания - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления. Термодинамика, теплотехника, газовая динамика, гидравлика.

  5. Авиация, аэромеханика, аэродинамика, динамика полета, теория, конструкция, аэрогидромеханика. Сверхлегкие летательные аппараты, экранопланы, самолеты, вертолеты, ракеты, крылатые ракеты, аппараты на воздушной подушке, дирижабли, винты - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления.

  6. Генерация, внедрение идей. Основы научных исследований, методы генерации, внедрения научных, изобретательских, бизнес идей. Обучение приемам решения научных проблем, изобретательских задач. Научное, изобретательское, писательское, инженерное творчество. Постановка, выбор, решение наиболее ценных научных, изобретательских задач, идей.

  7. Публикации результатов творчества. Как написать и опубликовать научную статью, подать заявку на изобретение, написать, издать книгу. Теория написания, защиты диссертаций. Зарабатывание денег на идеях, изобретениях. Консультирование при создании изобретений, написании заявок на изобретения, научных статей, заявок на изобретения, книг, монографий, диссертаций. Соавторство в изобретениях, научных статьях, монографиях.

  8. Теоретическая механика (теормех), сопротивление материалов (сопромат), детали машин, теория механизмов и машин (ТММ), технология машиностроения, технические дисциплины.

  9. Теоретические основы электротехники (ТОЭ), электроника, основы цифровой, аналоговой электроники.

  10. Аналитическая геометрия, начертательная геометрия, инженерная графика, черчение. Компьютерная графика, программирование графики, чертежи в Автокад, Нанокад, фотомонтаж.

  11. Логика, графы, деревья, дискретная математика.

  12. OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, макросы, VBScript, Бэйсик, С, С++, Делфи, Паскаль, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Маткад. Создание программ, игр для ПК, ноутбуков, мобильных устройств. Использование бесплатных готовых программ, движков с открытыми исходными кодами.

  13. Создание, размещение, раскрутка, программирование сайтов, интернет-магазинов, заработки на сайтах, Web-дизайн.

  14. Информатика, пользователь ПК: тексты, таблицы, презентации, обучение методу скоропечатания за 2 часа, базы данных, 1С, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, Автокад, nanoCad, Интернет, сети, электронная почта.

  15. Устройство, ремонт компьютеров стационарных и ноутбуков.

  16. Видеоблогер, создание, редактирование, размещение видео, видеомонтаж, зарабатывание денег на видеоблогах.

  17. Выбор, достижение целей, планирование.

  18. Обучение зарабатыванию денег в Интернет: блогер, видеоблогер, программы, сайты, интернет-магазин, статьи, книги и др.

Skype: da.irk.ru

Сайты: www.super-code.ru www.da.irk.ru

Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича

© 15.10.17 Ольшевский Андрей Георгиевич e-mail: da.irk.ru@mail.ru